On dit que \(F\) est orthogonal à \(G\) si tout élément \(f\) de \(F\) est orthogonal à \(G\)
Définition :
Soit \(U\subseteq E\) un sous-ensemble
On dit que le sous-ensemble \(U^\perp\subseteq E\) est orthogonal à \(U\) si $$\forall x\in U,\forall y\in U^\perp,\qquad\sigma(x,y)=0$$
On appelle \(U^\perp\) le complément orthogonal de \(U\)
Si \(x\) est un vecteur, on note : $${{x^\perp}}:={{\{y\in E\mid\sigma(x,y)=0\} }}$$
Proposition :
\(U^\perp\) est un sous-espace vectoriel
Proposition : $${{\ker\sigma}}={{E^\perp}}={{\bigcap_{U\subseteq E}U^\perp}}$$
(Noyau - Espace nul (algèbre bilinéaire))
Proposition :
L'orthogonalité est une relation symétrique
Théorème :
Soit \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) une forme bilinéaire et \(U\subseteq E\) un sous-espace vectoriel
Alors : $${{\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^\perp}}={{\operatorname{dim} E+\operatorname{dim}(\ker\sigma\cap U)}}$$
Théorème :
Soit \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) une forme bilinéaire et \(U\subseteq E\) un sous-espace vectoriel
Alors : $${{(U^\perp)^\perp}}={{U+\ker\sigma}}$$
Corollaire :
Si \(U\subseteq E\) est non-isotrope, alors on a : $${{U^{\perp\perp} }}={{E}}$$
Corollaire :
Si \(U\subseteq E\) est non-isotrope, alors on a : $${{\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{\perp} }}={{\operatorname{dim} E}}$$
(Isotropie)
START
Exo-Démo
Consigne: Montrer que si \(U\subseteq E\) est non-isotrope, alors on a : $${{\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{\perp} }}={{\operatorname{dim} E}}$$
Commandes
1: Appliquer le théorème des dimensions $$\operatorname{dim} (A+B)=\operatorname{dim} A+\operatorname{dim} B-\operatorname{dim}(A\cap B)$$END
(Formule de Grassmann)
Corollaire :
Si \(\sigma\) est non-dégénérée, alors pour tout \(U\) sous-espace de \(E\), $${{U^{\perp\perp} }}={{U}}$$